ウィルコクソンの符号順位検定

ウィルコクソンの符号順位検定（ふごうじゅんいけんてい、英: Wilcoxon signed-rank test）は一対の標本によるノンパラメトリック検定法である。対応のあるt検定に対応し、対応のあるt検定で必要とされる仮定が満たされない場合に用いる。ウィルコクソン（Frank Wilcoxon、1892-1965）によって「ウィルコクソンの順位和検定」（マン・ホイットニーのU検定に同じ）とともに開発された。

方法

全2n 回の観察で、n 個の対象に対し各2回の観察を行うとする。iで各対象を表し、iに対する1回目の測定値を ${\displaystyle x_{i}}$ 、2回目の測定値を ${\displaystyle y_{i}}$ とする。

次のように仮定する。

1. ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$に対し ${\displaystyle Z_{i}=Y_{i}-X_{i}}$ とする。各差 ${\displaystyle Z_{i}}$ は互いに独立とする。
2. 各${\displaystyle Z_{i}}$ は連続的母集団（同じでなくてよい）に由来し、共通の中央値${\displaystyle \theta }$ に関して対称とする。

帰無仮説${\displaystyle H_{0}}$ を${\displaystyle \theta =0}$ とする。絶対値${\displaystyle |Z_{1}|,\ldots ,|Z_{n}|}$ を順番に並べ、各${\displaystyle |Z_{i}|}$ の順位を${\displaystyle R_{i}}$ として、これからウィルコクソンの符号順位統計量${\displaystyle W^{ }}$ を計算する。${\displaystyle \phi _{i}=I(Z_{i}>0)}$ （ただし${\displaystyle I(.)}$ は指示関数、すなわち${\displaystyle Z_{i}>0}$のとき ${\displaystyle I(Z_{i})=1}$、${\displaystyle Z_{i}=<0}$のとき ${\displaystyle I(Z_{i})=0}$）とする。ウィルコクソンの符号順位統計量 ${\displaystyle W^{ }}$ を

${\displaystyle W^{ }=\sum _{i=1}^{n}\phi _{i}R_{i}}$

により求める。

前後2回データを収集した場合の点数（中心点が0と期待される）の差を検定するのによく用いられる。中心点と完全に一致する点数は除外し、残りの点数の中心点からの偏差の絶対値を順位化し、最小の偏差が順位1となるようにする。タイ（同順位）点数には平均順位を充てる。中心点からの正・負の両偏差ごとに順位の和を計算する。両順位和の小さい方をSとする。そしてSを順位分布の数表と比較してp値（中心点の周りに対称に分布する点数母集団から、その値以上のS値が得られる確率）を求める。

nが多くなるとSの分布は平均${\displaystyle {\dfrac {n(n 1)}{4}}}$、分散${\displaystyle {\dfrac {n(n 1)(2n 1)}{24}}}$の正規分布に近づくので、10より大きいnに対してはp値を求めるのに正規分布を用いることが多い。

関連項目

• マン・ホイットニーのU検定

出典